Si los ingresos obtenidos por las ventas igualan a los costos de producción, se dice que el negocio está en el punto de equilibrio o de beneficio cero.
Si una empresa posee una función de costos C(x), una función de Ingresos I(x), dadas por:
Si una empresa posee una función de costos C(x), una función de Ingresos I(x), dadas por:
C(x) = cx + k c: costo de producción por unidad
k: costo fijo
x: cantidad producida del bien
I(x) = sx s: precio de venta por unidad
x: cantidad vendida del bien
La función de beneficio B(x) estará dada por la diferencia entre la función de ingresos y la función de costos.
B(x) = I(x) - C(x)
B(x) = (s - c)x – k
B(x´) = 0, entonces I(x´) = C(x´)
El punto P(x´; p´) es la solución simultánea de las ecuaciones p = C(x) y p = I(x) y recibe el nombre de punto de equilibrio; x´ es la cantidad de equilibrio y p´es el precio de equilibrio.
Geométricamente P(x´; p´) es la intersección de las rectas que representan a las funciones de costos y de ingresos.
Si x < x´, entonces I(x) < C(x), luego B(x) < 0 indicando que la empresa produce con pérdidas.
Si x = x´ se tiene el punto de equilibrio, la empresa no gana ni pierde.
Si x > x´, entonces I(x) > C(x), luego B(x) > 0 lo que indica que la empresa opera con ganancias.
Gráfica de la zona de pérdida:
Gráfica de la zona de ganancias:
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Ejemplo:
Los costos fijos de una empresa (luz, teléfonos, alquileres etc.), que son independientes del nivel de producción, ascienden a $ 250,000.00 El costo variable o costo por unidad de producción del bien es de $ 22.50. El precio de venta del producto es de $ 30.00 por unidad. Calcular su punto de equilibrio.
Podemos determinar la función de costos totales C(x) = 22.50x + 250,000 y la de Ingresos totales I(x) = 30x
El punto de equilibrio se puede hallar:
a) Trabajando con la función beneficio definida como la diferencia entre ingresos y costos B(x) = I(x) – C(x) y buscando el valor para el cual la utilidad es igual a 0 (cero).
B(x) = I(x) – C(x)
B(x) = 30x – (22.50x + 250,000)
B(x) = 7.50x – 250,0000
En el punto de equilibrio B(x) = 0
0 = 7.50x – 250,000
x = 250,000 / 7.50
x = 33,333.33 unidades
y = $999,999.9
Las coordenadas del punto de equilibrio serán (33,333.33, 999,999.9)
Podemos determinar la función de costos totales C(x) = 22.50x + 250,000 y la de Ingresos totales I(x) = 30x
El punto de equilibrio se puede hallar:
a) Trabajando con la función beneficio definida como la diferencia entre ingresos y costos B(x) = I(x) – C(x) y buscando el valor para el cual la utilidad es igual a 0 (cero).
B(x) = I(x) – C(x)
B(x) = 30x – (22.50x + 250,000)
B(x) = 7.50x – 250,0000
En el punto de equilibrio B(x) = 0
0 = 7.50x – 250,000
x = 250,000 / 7.50
x = 33,333.33 unidades
y = $999,999.9
Las coordenadas del punto de equilibrio serán (33,333.33, 999,999.9)
30x = 22.50x + 250,000.00
30x – 22.50x = 250,000.00
7.50
x = 250,000.00
x = 250,000.00/ 7.50
x = 33,333.33 Unidades
y = $999,999.9
La empresa tendrá beneficio 0 (cero) o estará en el punto de equilibrio (no gana ni pierde) cuando produce y vende 33,333 unidades.
En dicho punto tenemos:
I(x) = 30x = (30) (33,333) = 100,000
C(x) = 22.50 x + 250,000.00 = (22.50) (33,333) + 250,000.00 = 100,000
Así podemos concluir que con menos de 33,333 unidades producidas y vendidas la empresa tendrá déficit (pérdida) y con cualquier cantidad superior tendrá ganancia.
Gráficamente:
